Halaman
Modul Matematika PeminatanKelas XIIKD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN2DISTRIBUSI BINOMIALMATEMATIKA PEMINATANKELAS XIIPENYUSUNDr. Yuyun Sri Yuniarti, M.Pd.SMA Negeri 1 Pedes
Modul Matematika PeminatanKelas XIIKD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN3DAFTAR ISIPENYUSUN.............................................................................................................................................2DAFTAR ISI............................................................................................................................................3GLOSARIUM...........................................................................................................................................4PETA KONSEP.......................................................................................................................................5PENDAHULUAN...................................................................................................................................6A. Identitas Modul...........................................................................................................6B. Kompetensi Dasar.......................................................................................................6C. Deskripsi Singkat Materi............................................................................................6D. Petunjuk Penggunaan Modul......................................................................................7E. Materi Pembelajaran...................................................................................................7KEGIATAN PEMBELAJARAN 1.......................................................................................................8Konsep Variabel Acak........................................................................................................................8A.TujuanPembelajaran..................................................................................................8B.Uraian Materi..............................................................................................................8C.Rangkuman...............................................................................................................12D.Latihan Soal..............................................................................................................12E.Penilaian Diri............................................................................................................16KEGIATAN PEMBELAJARAN 2.....................................................................................................17Distribusi Peluang Binomial..........................................................................................................17A.Tujuan Pembelajaran................................................................................................17B.Uraian Materi............................................................................................................17C.Rangkuman...............................................................................................................20D.Latihan Soal..............................................................................................................21E.Penilaian Diri............................................................................................................22EVALUASI.............................................................................................................................................23DAFTAR PUSTAKA............................................................................................................................27
Modul Matematika PeminatanKelas XIIKD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN4GLOSARIUMBinomial:teorema yang menjelaskan tentang pengembangan eksponen dari penjumlahan antar variabelData:catatan atau informasi atas kumpulan fakta.Hipotesis:dugaan sementara yang harus dibuktikan secara ilmiahParameter:tempat penyimpanan variabel di dalam fungsi yang digunakan untuk melakukan pemberian data dari pemanggil ke dalam fungsiPopulasi:seluruh objek penelitian yang menjadi fokus peneitian kitaProbabilitas:peluang atau kemungkinan dari suatu kejadianRuang Sampel:semua kemungkinan yang terjadi dalam suatu percobaanSampel:bagian dari populasiSampel representative:bagian dari populasi yang diambil untuk mewakili penelitianStatistik:merupakan kumpulan data baik berupa bilangan maupun bukan bilangan yang disusun dalam table ataupun diagram yang melukiskan atau menggambarkan suatu persoalaaanStatistik inferensial:metode yang berhubungan dengan menganalisa sebuah data sampai pada tahap penarikan kesimpulanVariabel:besaran yang dapat berubah serta berpengaruh pada sebuah peristiwa atau kejadian
Modul Matematika PeminatanKelas XIIKD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN5PETA KONSEP
Modul Matematika PeminatanKelas XIIKD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN6PENDAHULUANA. Identitas ModulMata Pelajaran: Matematika PeminatanKelas: XIIAlokasi Waktu: 10JPJudul Modul: Distribusi BinomialB. Kompetensi Dasar3. 5Menjelaskan dan menentukan distribusi peluang binomial berkaitan dengan fungsi peluang binomial4.5Menyelesaikan masalah berkaitan dengan distribusi peluang binomial suatu percobaan (acak) dan penarikan kesimpulannyaC. Deskripsi Singkat MateriStatistik inferensial adalah statistik yang digunakan untuk keperluan menganalisa data dan hasilnya akan digeneralisasikan atau diinferesialkan kepada populasidimana sampel diambil. Statistik inferensial sering juga dikenal dengan metode yang berhubungan dengan menganalisa sebuah data atau sampel kemudian sampai pada peramalan / pendugaan atau penarikan kesimpulan mengenai seluruh data induknya. Dalam statistik inferensial ada beberapa hal yang harus dilakukan seperti menduga parameter, memutuskan hipotesis sampai menguji hipotesis tersebut sebelum akhirnya mengambil kesimpulan. Meskipun sifatnya masih tidak pasti dan mungkin saja salah, statistik inferensial tetap memiliki beberapa manfaat yang bisa Ananda pertimbangkan seperti berikut ini.1.Berangkat dari cara penggunaannya, maka statistik inferensial memiliki manfaat untuk menduga nilai populasi. Ketika Ananda melakukan pengukuran data dengan metode ini, maka dapat diperoleh hasil yang cukup akurat dan tepat sampai menggambarkan kondisi yang sebenarnya2.Manfaat berikutnya dari statistik inferensial adalah bisa menjadi metode analisis yang sangat terstruktur, asalkan Ananda memahami teori peluang dengan sempurna, metode yang digunakan sudah teruji secara matematis sehingga bisa menjadi estimator yang tidak condong ke manapun. Kokbisa begitu? Karena memang formula statistik inferensial begitu rapiIngin mengetahui kebenaran dalam sebuah asumsi yang menyeruak di kalangan masyarakat? Maka Ananda bisa melakukan uji hipotesis yang merupakan pengujian statistik.Uji hipotesis kerap digunakan untuk mengecek klaim yang beredar di kalangan masyarakat, sehingga membantu siapapun membuktikan sebuah pendapat yang dipercaya itu benar atau salah.Sebagai contoh misalnya salah satu klaim yang sering disebutkan adalah bahwamatematika merupakan mata pelajaran yang sangat sulit dipahami untuk siswa jenjang SMA.Untuk membuktikan klaim ini, Ananda harus mengambil beberapa sampel representatif dan kemudian melakukan perhitungan analisis nilai matematika dari sampel yang mewakilkan tersebut.
Modul Matematika PeminatanKelas XIIKD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN7D. Petunjuk Penggunaan ModulSebelum Ananda membaca isi modul, terlebih dahulu membaca petunjuk khusus dalam penggunaan modul agar memperoleh hasil yang optimal.1.Sebelum memulai menggunakan modul, mari berdoa kepada Tuhan yang Maha Esa agar diberikan kemudahan dalam memahamimateri ini dan dapat mengamalkan dalam kehidupan sehari-hari.2.Sebaiknya Ananda mulai membaca dari pendahuluan, kegiatan pembelajaran, rangkuman, hingga daftar pustaka secara berurutan.3.Setiap akhir kegiatan pembelajaran, Ananda mengerjakan latihan soal dengan jujur tanpa melihat uraian materi.4.Ananda dikatakan tuntas apabila dalam mengerjakan latihan soal memperoleh nilai ≥75sehingga dapat melanjutkan ke materi selanjutnya.5.Jika Ananda memperoleh nilai <75maka Ananda harus mengulangi materi pada modul ini dan mengerjakan kembali latihan soal yang ada.E. Materi PembelajaranModul ini terbagi menjadi 2kegiatan pembelajaran dan di dalamnya terdapat uraian materi, contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi.Pertama :Konsep Variabel AcakKedua : Distribusi Peluang Binomial
Modul Matematika PeminatanKelas XIIKD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN8KEGIATAN PEMBELAJARAN 1Konsep Variabel AcakA.Tujuan PembelajaranSetelah kegiatan pembelajaran 1 ini diharapkan Ananda dapat memahami konsep variabel Acak dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan hal tersebut.B.Uraian MateriStatistik inferensial ada 2 macam yaitu:▪Statistik parametrik, yaitu ilmu yang mempertimbangkan jenis sebaran atau distribusi data apakah data menyebar secara normal atau tidak. Dengan kata lain data yang akan dianalisis menggunakan statistik parametris harus memenuhi asumsi normalitas. Secara umum, jika data tidak menyebar normal maka data seharusnya dikerjakan dengan metoda statistik non parametrik, atau setidaknya dilakukan transformasi terlebih dahulu agar data mengikuti sebaran normal, sehingga bisa dikerjakan dengan statistik parametrik. Contoh metode statistik parametrik yaitu uji Z, uji t, korelasi pearson, perancangan percobaan (one way anova parametrik. Ciri dari statistik paramterik yaitu data dengan skala interval dan rasio, data menyebar berdistribusi normal.▪Statistik non parametrik, yaitu statistik bebas sebaran (tidak mensyaratkan bentuk sebaranparametrik populasi, baik normal maupun tidak). Selain itu, statistik ini biasanya menggunakan skala sosial, yaitu nominal dan ordinal yang umumnya tidak berdistribusi normal. Contoh, uji tanda, rank sum test. Ciri dari statistik non parametrik data tidakberdistribusi normal, umumnya data nominal atau ordinal, penelitian sosial, dengan jumlah sampel kecil.➢Konsep Variabel AcakVariabel merupakan suatu besaran yangmemiliki nilai tidak tunggal, misalnya bilangan asli kurang dari 10, bilangan bulat kurang dari 3, dan waktu tempuh kendaraan. Variabel ada dua yaitu variabel diskrit dan variabel kontinu. Variabel diskrit memiliki nilai-nilai yang dapat dihitung, sedangkan variabel kontinu memiliki nilai-nilai yang tidak dapat dihitung. Salah satu contoh variabel diskrit yaitu bilangan asli kurang dari 5, sedangkan salah satu contoh variabel kontinu yaitu bilangan bulat lebih dari 3 dan waktu tempuh kendaraan. Variabel acak merupakan variabel yang nilainya ditentukan oleh hasil percobaan. Variabel acak digunakan untuk menggambarkan hasil-hasil percobaan sebagai nilai-nilai numerik secara sederhana. Variabel acak dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X, Y, Z atau lainnya sedangkan nilai variabel acak dinyatakan dengan huruf kecil misalnya 𝑥,𝑦dan 𝑧. Telah disampaikan bahwa terdapat dua variabel yaitu variabel diskrit dan variabel kontinu, makan variabel acak pun sama ada variabel acak diskrit dan ada variabelacak kontinu. Variabel acak diskrit diperoleh dari hasil menghitung/membilang, nilainya berupa bilangan bulat. Nilai-nilai variabel acak diskrit digambarkan pada garis interval berupa
Modul Matematika PeminatanKelas XIIKD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN9deretan titik-titik yang saling terpisah, contoh X = banyak sisi gambaryang terlihat pada percobaan melambungkan sekeping uang logam. Variabel acakkontinu diperoleh dari hasil mengukur dan nilainya berupa bilangan riil. Nilai-nilai variabel acak kontinu jika digambarkan pada garis interval berupa titik-titik yang saling tersambung membentu garis. Sebagai contoh hasil penimbangan berat badan, hasil pengukuran suhu tubuh, atau hasil pencatatan waktu yang diperoleh seorang pelari mencapai garis finish. Pada bagian uraian materi kali ini kita akan membahas secara khusus mengenai variabel acak diskrit. Contoh soal:1.Ayu melakukan pelemparan sebuah dadu satu kali. Hasil yang mungkin diperoleh Ayu adalah....Jawab: Misalkan X = mata dadu yang muncul sehingga dapat Ananda nyatakan bahwa X = {1,2,3,4,5,6}2.Andika melemparkan satu keping uang logam sebanyak dua kali. Andika mengamati banyak hasil angka yang diperoleh adalah..Jawab : Misalkan X = banyak hasil angka yang diperoleh sehingga X = {0, 1,2}3.Dewi melemparkan sekeping uang logam sebanyak empat kali.a.Variabel acak yang menyatakan banyaknya sisi angka yang diperoleh adalah X = {0,1,2,3,4}b.Variabel acak yang menyatakan banyaknya sis gambar yang diperoleh adalah X = {0,1,2,3,4}4.Rina melakukan pelemparan dua buah dadu sebanyak satu kali. Variabel acak X menyatakan hasil kalikedua mata dadu. Nyatakan hasil yang mungkin diperoleh sebagai variabel acakJawab: ruang sampel dari pelemparan dua buah dadu satu kali adalah sebagai berikut: Jika X menyatakan hasil kali kedua mata dadu maka: X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 36}Perhatikan di sini dalam penyelesaian soal untuk menentukan variabel acak, Ananda harus dapat menentukan ruang sampel terlebih dahulu. ➢Peluang Variabel Acak Diskrit1)Distribusi peluang variabel acak diskritPada variabel acak diskrit, nilai-nilainya mempunyai peluang. Peluang nilai variabel acak X dinotasikan dengan 𝑓(𝑥)=𝑃(𝑋=𝑥). Bentuk penyajian peluang nilai-nilai variabel acak diskrit disebut dengan distribusi peluang variabel acak. Distribusi peluang dapat dinyatakan dalam bentuk tabel, grafik, atau fungsi. Distribusi peluang disebut juga distribusi probabilitas atau fungsi peluang atau fungsi probabilitas.
Modul Matematika PeminatanKelas XIIKD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN10Contoh soal:Diana melakukan pelemparan sebuah dadu. Variabel X menyatakan mata dadu yang muncul. Sajikan distribusi peluang variabel acak X dalam bentuka.Tabelb.Grafikc.FungsiJawab: X = mata dadu yang muncul sehingga dapat dinyatakan X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Peluang diperoleh hasil mata dadu 1 yaitu 𝑓(1)=𝑃(𝑋=1)=16Peluang diperoleh hasil mata dadu 1 yaitu 𝑓(1)=𝑃(𝑋=2)=16Peluang diperoleh hasil mata dadu 1 yaitu 𝑓(1)=𝑃(𝑋=3)=16Peluang diperoleh hasil mata dadu 1 yaitu 𝑓(1)=𝑃(𝑋=4)=16Peluang diperoleh hasil mata dadu 1 yaitu 𝑓(1)=𝑃(𝑋=5)=16Peluang diperoleh hasil mata dadu 1 yaitu 𝑓(1)=𝑃(𝑋=6)=16a.Jika ditulisdalam bentuk tabel maka: x123456f(x)161616161616b.Jika ditulis dalam bentuk grafik sebagai berikut:c.Jika ditulis dalam bentuk fungsi sebagai berikut: 𝑓(𝑥)=2)Distribusi peluang kumulatif variabel acak diskritPeluang variabel acak X yang lebih kecil atau sama dengan suatu nilai 𝑥, ditulis dengan 𝐹(𝑥)=𝑃(𝑋=𝑥). Nilai 𝐹(𝑥)tersebut dinamakan peluang kumulatif. Misalkan 𝑥=𝑐merupakan salah satu nilai variabel acak X yang memiliki peluang 𝑓(𝑥), maka nilai 𝐹(𝑐)dinyatakan dengan :16161616161616, untuk 𝑥= 1 , untuk 𝑥= 6, untuk 𝑥= 5, untuk 𝑥= 4, untuk 𝑥= 3, untuk 𝑥= 2
Modul Matematika PeminatanKelas XIIKD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN11𝐹(𝑐)=𝑃(𝑋≤𝑐)=𝑓(0)+𝑓(1)+𝑓(2)+...+𝑓(𝑐).Contoh soal:1.Cintia melakukan pelemparan sebuah dadu. Variabel X menyatakan mata dadu yang muncul. Tentukan nilai dari a.𝐹(1)b.𝐹(3)c.𝐹(5)Jawab:Ruang sampel dari pelemparan sebuah dadu adalah 𝑆= {1, 2, 3, 4, 5, 6}X = mata dadu yang muncul sehingga dapat dinyatakan 𝑋= {1, 2, 3, 4,5, 6}a.𝐹(1)=𝑃(𝑋≤1)=𝑓(1)=16b.𝐹(3)=𝑃(𝑋≤3)=𝑓(1)+𝑓(2)+𝑓(3)=16+16+16=36=12c.𝐹(5)=𝑃(𝑋≤5)=𝑓(1)+𝑓(2)+𝑓(3)+𝑓(4)+𝑓(5)=16+16+16+16+16=562.Sekeping uang logamdilempar dua kali. Variabel acak 𝑋menyatakan banyak sisi angka yang muncul. Tentukan nilai dari:a. 𝐹(0)b. 𝐹(1)c. 𝐹(2)Jawab: Ruang sampel 𝑆= {AA, AG, GA, GG}𝑋= banyak sisi angka yang muncul sehingga dapat dinyatakan 𝑥= {0, 1, 2}a.𝐹(0)=𝑃(𝑋≤0}=𝑓(0)=14b.𝐹(1)=𝑃(𝑋≤1)=𝑓(0)+𝑓(1)=14+24=34c.𝐹(2)=𝑃(𝑋≤2)=𝑓(0)+𝑓(1)+𝑓(2)=14+24+14=44=1Sifat-sifat distribusi peluang Misalkan 𝑥adalah variabel acak diskrit yang bernilai 𝑥1,𝑥2,𝑥3,...,𝑥𝑛dan 𝑓(𝑥𝑖)merupakan peluang nilai-nilai variabel acak 𝑋dengan 𝑖=1,2,3,4,...,𝑛maka 𝑓(𝑥𝑖)memenuhi dua sifat berikuta.0≤𝑓(𝑥𝑖)≤1untuk 𝑖=1,2,3,4,...,𝑛b.∑𝑓(𝑥𝑖)=𝑓(1)+𝑓(2)+𝑓(3)+⋯+𝑓(𝑛)=1𝑛𝑥=1Contoh. Diketahui distribusi peluang variabel acak diskrit 𝑋berikut.𝑿=𝒙3456𝒇(𝒙)13𝑘92𝑘+11816
Modul Matematika PeminatanKelas XIIKD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN12a.Tentukan nilai 𝑘b.Hitunglah nilai 𝑃(𝑋≥5)Jawab.a.∑𝑓(𝑥𝑖)=1𝑛𝑥=1𝑓(3)+𝑓(4)+𝑓(5)+𝑓(6)=113+𝑘9+2𝑘+118+16=16+2𝑘+(2𝑘+1)+318=14𝑘+10=18𝑘=18−104=84=2b.𝑃(𝑋≥5)=𝑓(5)+𝑓(6)𝑃(𝑋≥5)=2𝑘+118+16𝑃(𝑋≥5)=2.2+118+16𝑃(𝑋≥5)=518+16𝑃(𝑋≥5)=518+318𝑃(𝑋≥5)=818=49C.RangkumanPeluang Variabel Acak Diskrit dibagi 2:1.Distribusi peluang variabel acak diskritPada variabel acak diskrit, nilai-nilainya mempunyai peluang. Peluang nilai variabel acak 𝑋dinotasikan dengan 𝑓(𝑥)=𝑃(𝑋=𝑥). 2.Distribusi peluang kumulatif variabel acak diskrit, yang dinyatakan oleh: 𝐹(𝑐)=𝑃(𝑋≤𝑐)=𝑓(0)+𝑓(1)+𝑓(2)+...+𝑓(𝑐).D.Latihan Soal Kerjakan semua soal di bawah ini di buku latihan. Diskusikan dengan teman dan guru matematika di kelas Ananda. 1)Variabel acak X menyatakan banyak gambar pada pelemparan dua keping matauang logam. Tentukan nilai dari :a.𝑃(𝑋=0)b.𝑃(𝑋=1)c.𝑃(𝑋=2)2)Dewi melakukan pelemparan dua buah dadu satu kali. Variabel acak 𝑋menyatakan jumlah kedua mata dadu. Nyatakan hasil yang mungkin diperoleh sebagai variabel acak.3)Sebuah kantong berisi 4 butir kelereng kuning dan 3 butir kelereng hijau. Dari dalam kantong tersebut diambil 3 butir kelereng sekaligus. Variabel acak 𝑋menyatakan banyak kelereng kuning yang terambil. Tentukan nilai dari :a.𝑃(𝑋=0)b.𝑃(𝑋=1)c.P(𝑋=2)d.P(𝑋=3)4)Variabel acak X menyatakan banyaknya angka pada pelemparan empat keping mata uang logam. Tentukan nilai dari:a.P(X ≤ 1)b.P (X ≤ 2)c.P (X ≤ 3 )d.P (X ≤ 4 )
Modul Matematika PeminatanKelas XIIKD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN135)Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut:𝑋1234𝑓(𝑥)1425𝑘15Tentukan nilai 𝑘.6)Perhatikan tabel berikutX1234567P(X = x)1121614141616112Tentukan nilai dari:a.𝑃(𝑋≤4)b.𝑃(𝑋≤6)c.𝑃(4≤𝑋≤6)d.𝑃(5≤𝑋≤7)e.𝑃(𝑋≥6)7)Variabel 𝑋menyatakan jumlah mata dadu yang muncul pada pelemparan dua buah dadu. Tentukan nilai dari:a.𝑃(𝑋≤3)b.𝑃(𝑋≤10)c.𝑃(6≤𝑋≤2)
Modul Matematika PeminatanKelas XIIKD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN14Kunci Jawaban PembahasanNoPembahasanSkor1PenyelesaianPada pelemparan dua buah mata uang logam diperoleh:S = {𝐴𝐴,𝐴𝐺,𝐺𝐴,𝐺𝐺}n(S) = 4X menyatakan banyaknya hasil gambar sehingga dapat dinyatakan 𝑋={0,1,2}a.P (X = 0) = ¼b.P (X = 1) = 2/4c.P (X = 2) = ¼152Perhatikan gambar tersebut, Jika X menyatakan hasil jumlah kedua mata dadu, maka 𝑋={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}103𝑛(𝑆)=𝐶37=7!3!4!=7.6.5.4.3.2.13.2.1.4.3.2.1=35X banyak kelerengkuning yang terambil sehingga dapat dinaytakan 𝑋={0,1,2,3,4}a.𝑃(𝑋=0)=𝑓(0)=𝐶04.𝐶3335=1.135=135b.𝑃(𝑋=1)=𝑓(1)=𝐶14.𝐶2335=4.335=1235c.𝑃(𝑋=2)=𝑓(2)=𝐶24.𝐶1335=6.335=1835d.𝑃(𝑋=3)=𝑓(3)=𝐶34.𝐶0335=4.135=43520
Modul Matematika PeminatanKelas XIIKD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN15NoPembahasanSkor4Penyelesaian:𝑆={𝐴𝐴𝐴𝐴,𝐴𝐴𝐴𝐺,𝐴𝐴𝐺𝐺,𝐴𝐺𝐴𝐴,𝐴𝐴𝐺𝐴,𝐴𝐺𝐺𝐺,𝐺𝐺𝐺𝐴,𝐺𝐺𝐴𝐴,𝐺𝐴𝐴𝐴,𝐴𝐺𝐴𝐺,𝐺𝐴𝐴𝐺,𝐺𝐴𝐺𝐴,𝐺𝐴𝐺𝐺𝐺𝐺𝐴𝐺,𝐺𝐺𝐺𝐴,𝐺𝐺𝐺𝐺}X Menyatakan Banyak Angka sehingga𝑋={0,1,2,3,4}a.P(X ≤ 1) = 𝑓(0)+𝑓(1)=116+416=516b.P (X ≤ 2) = 𝑓(0)+𝑓(1)+𝑓(2)=116+416+616=1116c.P (X ≤ 3 ) =𝑓(0)+𝑓(1)+𝑓(2)+𝑓(3)=116+416+616+416=1516d.P (X ≤ 4 )=𝑓(0)+𝑓(1)+𝑓(2)+𝑓(3)+𝑓(4)=116+416+616+416+116=1616205X1234f(x)1425k1514+25+𝑘+15=1Maka 𝑘=1−14−25−15=1−1720=32015TOTAL SKOR
Modul Matematika PeminatanKelas XIIKD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN16E.Penilaian DiriJawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan jujur dan bertanggung jawab.No.PertanyaanJawabanYaTidak1.Apakah Ananda telah mampu memahami konsep variabel acak ?2.Apakah Ananda telah mampu memahami konsep distribusi peluang acak diskrit? 3.Apakah Ananda telah mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan distribusi peluang acak diskrit ?4.Apakah Ananda telah mampu memahami konsep distribusi peluang kumulatif acak diskrit?5.Apakah Ananda telah mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan distribusi peluang kumulatif acak diskrit ?Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan riview pembelajaran, terutama pada bagian yang masih "Tidak"
Modul Matematika PeminatanKelas XIIKD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN17KEGIATAN PEMBELAJARAN 2Distribusi Peluang BinomialA.Tujuan PembelajaranPada pembelajaran kedua, Ananda akan dibimbing untuk dapat memahami dan menyelsaikan permasalahan yang berkaitan dengan konsep Distribusi binomial. Di pembelajaran kedua ini Ananda kembali akan dibimbing untuk dapat memahami konsep variabel acak binomial serta distribusi peluang binomialnya. Yuk kita mulai.B.Uraian MateriDISTRIBUSI BINOMIAL1. Variabel Acak BinomialVariabel acak binomial merupakan variabel acak yang nilai-nilainya ditentukan oleh hasil percobaan binomial. Beberapa syarat pada percobaan binomial sebagai berikut:➢Percobaan dilakukan berulang-ulang➢Percobaan bersifat saling bebas atau dengan pengembalian. Hasil percobaan yang satu tidak mempengaruhi hasil percobaan yang lain➢Setiap percobaan memiliki dua macam kejadian yaitu kejadian yang diharapkan disebut sukses dan kejadian yang tidak diharapkan disebut gagal➢Peluang setiap kejadian tetap dalam setiap percobaanPercobaan binomial dapat diamati melalui percobaan pelambungan uang logam. Sebagai contoh misalnya Raka melambungkan sekeping uang logam sebanyak 3 kali. Pada setiap pelemparan dilakukan pencatatan terhadap sisi angka. Percobaan ini merupakan percobaan binomial dengan alasan sebagai berikut:➢Percobaan dilakukan secara berulang-ulang➢Percobaan saling bebas➢Percobaan memiliki dua macam ekjadian yaitu keluar sisi angka atau keluar sisi gambarKarena uang logam dilambungkan lagi, maka peluang sisi angka dalam setiap percobaan selalu sama yaitu ½.2. Distribusi Peluang Binomiala. Fungsi Distribusi BinomialTelah dibahas tadi bahwa setiap percobaan memiliki dua macam kejadian yaitu sukses dan gagal. Oleh karena itu jumlah peluang kedua kejadian dalam setiap percobaan akan sama dengan satu karena nilai yang berimbang. Misalkan p menyatakan peluang kejadian sukses dan q menyatakan peluang kejadian gagal, maka hasil dari p + q = 1.Peluang nilai-nilai variabel acak binomial dapat disusun dalam bentuk tabel atau grafik sehingga diperoleh distribusi peluang variabel acak binomial. Distirbusi peluang variabel acak binomial disebut distribusi binomial. Peluang suatu nilai variabel acak binomial dinamakan peluang binomial. Secara umum rumus peluang binomial x kejadian yang diharapkan dari 𝑛percobaan binomial dinyatakan:f(x) = b(x ; n; p) = C (n,x) . px. qn –x
Modul Matematika PeminatanKelas XIIKD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN18Keterangan:𝐶(𝑛,𝑥)= koefisien binomialx = banyaknya kejadian yang diharapkan dengan x = 0, 1, 2, .. np = peluang kejadian yang diharapkanq = peluang kejadian yang tidak diharapkanContoh soalRegia melakukan latihan tendangan penalti sebanyak 3 kali. Peluang sukses melakukan tendangan sebesar 4/5 . tentukan peluang Regia mencetak tepat dua gol.Jawab:p = peluang suksesmencetak gol, maka p = 4/5q = peluang gagal mencetak gol, maka q = 1 –p = 1 –4/5 = 1/5Tanpa rumus distribusi binomial:Misalkan M = tendangan masuk dan G = tendangan gagalTepat mencetak dua gol yaitu MMG, MGM, GMM1)Peluang hasil tendangan MMG maka peluangnya = 45.45.15=161252)Peluang hasil tendangan MGM maka peluangnya = 45.15.45=161253)Peluang hasil tendangan GMM maka peluangnya = 15.45.45=16125Dengan demikian, peluang Regia mencetak tepat dua gol yaitu16125+16125+16125=48125=0,384Kalo pakai rumus distribusi binomial:Diketahui n = 3x = 2p = 4/5q = 1/5karena Regia berharap mencetak 2 gol, maka f(2) = (2;3;45)=𝐶(3,2).(45)2.(15)3−2=3.1625.15= 48125=0,384Catatan: ingat bahwa 𝑪(𝟑,𝟐)=𝟑!(𝟑−𝟐)!𝟐!=𝟑.𝟐.𝟏𝟏.𝟐.𝟏=𝟔𝟐= 3jadi peluang Regia mencetak tepat dua gol adalah 0,384b. Fungsi Distribusi Binomial KumulatifPeluang paling banyak x kejadian yang diharapkan dinamakan fungsi distribusi binomial kumulatif. Misalkan x = t, maka peluang paling banyak t kejadian yang diharapkan dinyatakan dengan:f(t) = P (X ≤ 1) = ∑𝑪(𝒏,𝒙).𝒑𝒙.𝒒𝒏−𝒙𝒕𝒙=𝟎Keterangan:C(n,x) = koefisien binomial
Modul Matematika PeminatanKelas XIIKD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN19x = banyaknya kejadian yang diharapkan dengan x = 0, 1, 2, .. np = peluang kejadian yang diharapkanq = peluang kejadian yang tidak diharapkanContoh SoalRudi melakukan latihan tendangan penalti sebanyak tiga kali. Peluang sukses melakukan tendangan sebesar 4/5. Tentukan peluang Rudi mencetak paling banyak satu gol. a. tanpa rumus distribusi binomialb. dengan rumus distribusi binomialJawab:Diketahui p = peluang sukses melakukan gol = 4/5q = peluang gagal mencetak gol = 1/5tanpa rumus distribusi binomialMisalkan M = tendangan masuk dan G = tendangan gagalMencetak paling banyak satu gol MGG, GMG, GGM, GGG1)Peluang hasil tendangan MGG maka peluangnya = 45.15.15=41252)Peluang hasiltendangan GMG maka peluangnya = 15.45.15=41253)Peluang hasil tendangan GGM maka peluangnya = 15.15.45=41254)Peluang hasil tendangan GGG maka peluangnya = 15.15.15=1125Dengan demikian, peluang Regia mencetak tepat dua gol yaitu4125+4125+4125+1125=13125=0,104Dengan rumus distribusi binomialKarena diharapkan mencetak paling banyak satu gol artinya bisa 1 gol atau 0 gol. Kalo mencetak 1 gol:n = 3 ; x = 1 ; p = 4/5 dan q = 1/5 dengan demikianf(1) = b (1;3;45)=𝐶(3,1).(45)1.(15)3−1=3.45.125=12125Catatan: ingat bahwa 𝑪(𝟑,𝟎)=𝟑!(𝟑−𝟎)!𝟎!=𝟑.𝟐.𝟏𝟑.𝟐.𝟏.𝟏=𝟔𝟐= 3Kalo mencetak 0 gol: n = 3 ; x = 0 ; p = 4/5 dan q = 1/5 dengan demikianf(1) = b (0;3;45)=𝐶(3,0).(45)0.(15)3−0=1.1.1125=1125jadi peluang Rudi mencetak paling banyak 1 gol adalah 12125+1125=13125= 0, 104Bagaimana... mudah bukan ketika Ananda memahami nya secara perlahan dan jangan lupa untuk mengingat aturan pangkatnya yaa
Modul Matematika PeminatanKelas XIIKD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN20C.RangkumanBerdasarkan paparan di atas, maka dapat dibuat rangkuman bahwa distribusi peluang binomial dibagi menjadi dua yaitu fungsi distribusi binomial dengan rumus sebagai berikut: Dan fungsi distribusi kumulatif dengan rumus:
Modul Matematika PeminatanKelas XIIKD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN21D.Latihan Soal Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan tepat dan tulis jawaban Ananda secara detil di buka latihan. Diskusikan dengan teman-teman dan guru matematika di kelas Ananda yaa... Semangattttt....1)Selidiki apakah percobaan berikut merupakan percobaan binomial atau bukana.Deni melemparkan bola ke dalam keranjang sebanyak 4 kali. Deni mencatat banyak lemparan bola yang masuk ke dalam keranjangb.Dania mengambil tiga kartu satu per satu tanpa pengembalian dari setumpuk kartu remi dan mencatat jumlah kartu bergambar yang terambilc.Sani melempar sebuah dadu sebanyak dua kali dan mencatat jumlah mata dadu 10 yang muncul2)Sebuah mata uang logam dilemparkan sebanyak 10 kali. Tentukan peluang muncul gambar sebnayaka. Dua kalib. Tujuh kali 3)Diketahui P(x) = C(4,x) . (0,8)x. (0,2)4 –x untuk x = 0, 1, 2, 3, dan 4. Tentukan nilai dari:a.P(1)b.P(3)4)Dalam suatu tes, peserta diminta mengerjakan 15 soal pilihanbenar salah. tentukan peluang seorang peserta tes menjawab dengan benar:a.7 soalb.10 soalc.12 soald.15 soal5)Peluang seorang bayu=i tidak diimunisasi polio sebesar 0,1. Pada suatu waktu di posyandu terdapat 4 bayi. tentukan peluang bayi tersebuta.2 bayi belum imunisasi poliob.1 bayi belum imuniasi polioc.keempat bayi tersebut belum imunisasi polio6)Sebuah mata uang logam dilemparkan sebanyak 4 kali. tentuka peluang muncul angka paling banyak 4 kali7)Diketahui P(X) = C ( 4, x ) . (0,8)x. (0,2)4 –x untuk x = 0,1,2,3,4. tentukan nilai untuk:a.P(X ≤ 3)b.P(X ≤ 4)c.P( 2 ≤ X≤ 4)8)Peluang Bayu mencetak gol lewat tendangan penalti sebesar 0,8. tentukan peluang Bayu mencetak:a.paling banyak 2 gol dari 5 kali penaltib.paling banyak 3 gol dari 5 kali penalti9)Kepala bagian produksi PT sejahtera melaporkan bahwa rata-rata produksi TV yang rusak setiap kali produksi sebesar 15%. dari total produksi tersebut diambil secara acak sebanyak 6 unit TV. tentukan peluang:
Modul Matematika PeminatanKelas XIIKD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN22a.paling banyak 1 TV rusakb.paling banyak 2 TV rusak10)Sebuah kantong berisi 3 bola merah dan 2 bolaputih. dari dalam kantong tersebut diambil dua bola sekaligus. Variabel acak X menyatakan banyak bola merah yang terambil. Tentukan nilai daria.P(X = 2)b.P(X ≤ 1)E.Penilaian DiriJawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan jujur dan bertanggung jawab!No.PertanyaanJawabanYaTidak1.Apakah Ananda telah mampu memahami definisi konsep distrbusi binomial?2.Apakah Ananda telah mampu menentukan niali dari distribusi binomial?3.Apakah Ananda telah mampu memahami konsep distribusi kumulatif binomial?4.Apakah Ananda telah mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan distribusi kumulatif binomial?Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan riview pembelajaran, terutama pada bagian yang masih "Tidak"
Modul Matematika PeminatanKelas XIIKD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN23EVALUASIPilih satu jawaban yang paling tepat1.Data yang melibatkan variabel diskrit adalah⋯⋅⋯⋅A. bilangan asli lebih dari44B. bilangan bulat kurang dari55C. usia penduduk suatu daerahD. berat badan sekelompok siswaE. banyak anak dalam sebuah keluarga2.Beni melemparkan sekeping uang logam sebanyak tiga kali. Variabel acakXmenyatakan banyak hasil sisi gambar yang diperoleh. Hasil yang mungkin untukXadalahA.{0,1,2,3,4}B.{0,1,2,3}C.{0,1,2}D.{1,2,3}E.{1,2}3.Dewi melemparkan lima keping uang logam. Variabel acakXmenyatakan banyak hasil sisi angka yang diperoleh. Hasil yang mungkin untukXadalah⋯⋅⋯⋅A.{1,2,3,4,5}B.{0,1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}E.{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}4.Anita melambungkan dua buah dadu secara bersamaan. Jika variabel acakXmenyatakan jumlah mata dadu yang muncul, makaX=⋯⋅A.{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}B.{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}C.{0,1,2,3,4,5,6,7,8}D.{1,2,3,4,5,6}E.{0,1,2,3,4,5}5.Deni melambungkan sebuah dadu satu kali. Jika variabel acakXmenyatakan mata dadu yang muncul, makaX=⋯⋅A.{0,1,2,3,4,5,6}B.{1,2,3,4,5,6}C.{0,1,2,3,4,5}D.{0,1}E.{6}6.Sepasang pengantin baru merencanakan mempunyai dua anak. Jika variabelXmenyatakan banyak anak perempuan, makaX=⋯⋅A.{0,1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{0,1,2,3}E.{0,1,2,3,4}
Modul Matematika PeminatanKelas XIIKD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN247.Andi mengerjakan6butir soal. Variabel acakXmenyatakan banyak soal yang dikerjakan dengan benar. Hasil yang mungkin untukXadalah⋯⋅⋯⋅A.{0,1,2,3,4,5,6}B.{1,2,3,4,5,6}C.{0,1,2,3,4,5}D.{0,6}E.{6}8.Sepasang pengantin baru merencanakan mempunyai tiga anak. Variabel acakXmenyatakan banyak anak perempuan. NilaiP(X=1)adalah..A.18B.28C.38D.48E.589.Sebuah dadu dilemparkan sebanyak4kali. Peluang muncul mata dadu berkelipatan3sebanyak2kali adalahA.0,3951B.0,2963C.0,1157D.0,988E.0,15410.Andri mengerjakan10soal pilihan benar salah. Peluang Andri menjawab dengan benar sebanyak6soal adalah⋯⋅⋯⋅A.0,1816B.0,2051C.0,2672D.0,3145E.0,326411.Seorang penjaga gawang profesional mampu menahan tendangan penalti dengan peluang35. Dalam sebuah kesempatan dilakukan5kali tendangan. Peluang penjaga gawang mampu menahan3kali tendangan penalti tersebut adalahA.180625B.612625C.216625D.228625E.23062512.Peluang mendapatkan satu kali jumlah angka77dalam tiga kali pelemparan dua buah dadu adalah⋯⋯A.5246B.536C.2546
Modul Matematika PeminatanKelas XIIKD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN25D.2572E.13543213.Suatu survei menemukan bahwa1dari5orang berkata bahwa dia telah mengunjungi dokter dalam sembarang bulan yang ditanyakan. Jika10orang dipilih secara acak, peluang tiga di antaranya sudah mengunjungi dokter bulan lalu adalahA.0,108B.0,201C.0,245D.0,289E.0,301
Modul Matematika PeminatanKelas XIIKD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN26Kunci Jawaban Evaluasi1.E2.B3.C4.A5.B6.C7.A8.C9.B10.B11.C12.D13.B
Modul Matematika PeminatanKelas XIIKD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN27DAFTAR PUSTAKATim. (2019). Belajar Praktis Matematika. Klaten : Viva PakarindoErlangga FokusUN SMA/MA 2013 Program IPA. (2012). Jakarta: Erlangga.Erlangga X-Press UN 2015 SMA/MA Program IPA. (2014). Jakarta: Erlangga.Matematika Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan (2014). Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. Siswanto. (2005). Matematika Inovatif: Konsep dan Aplikasinya. Solo: Tiga Serangkai Pustaka Mandiri.Willa Adrian. (2008). 1700 Bank Soal Bimbingan Pemantapan Matematika Dasar. Bandung: Yrama Widya.